For noen år siden leste jeg boken The Infinite Book: A Short Guide to the Boundless, Timeless and Endless av John D. Barrow, en fascinerende reise i begrepet "uendelig" og alle dets paradokser. (Anbefales!)
Fikk bare lyst å nevne et eksempel som jeg ble minnet på da jeg så BBC-programmet Dangerous Knowledge. En sånn ting man gjerne ikke tenker på til vanlig, men som er så innlysende straks noen sier det. Innlysende, men fullstendig forvirrende.
Tenk deg alle heltall, fra 1 og oppover:
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 og så videre. Hvor langt opp kan man telle? Uendelig langt. Det finnes ingen slutt på antall heltall. Tallrekken slutter ikke noe sted. Man kan alltid legge til +1 og komme et steg lenger. Så mengden heltall er uendelig.
(Det følgende er korrigert etter innspill fra matematikere i kommentarfeltet (damn you! - eller egentlig: takk!).)
Men mellom hvert heltall kan vi dele inn i desimaler:
1,0 - 1,1 - 1,2 - 1,3 - 1,4 - 1,5 - 1,6 og så videre. Vi har allerede slått fast at antall heltall er uendelig. Men antall desimaltall må da også være uendelig, tilsynelatende en større uendelig enn den uendelige mengde heltall, men likevel er de to mengdene like store! Den uendelige mengde av tidels-desimaler burde være ti ganger større enn den uendelige mengde av heltall, men er i matematikken like stor. Uendelig = uendelig. Men så kan man dele inn tidelene i ti nye deler også, og få hundredeler, som må være en enda større mengde tall, men likefull "bare" uendelig.
Og videre: Mengden av alle partall, 2, 4, 6, 8, er også uendelig, selv om det bare utgjør halvparten av alle heltall. Det samme gjelder selvsagt oddetall også. Det er altså like mange partall eller oddetall som det finnes heltall. Paradoksalt...
Alle uendelige mengder og delmengder av naturlige tall, altså positive heltall, er altså like store. Det samme gjelder rasjonale tall, tall som kan uttrykkes som en brøk, slik vi har sett. Den uendelige mengde av heltallene 1 - 2 - 3 osv, er like stor som bare oddetallene, 1 - 3 - 5 osv, eller som alle heltall med én desimal, 1,1 - 1,2 - 1,3 osv, eller med fem desimaler, 1,00001 - 1,00002 - 1,00003 osv.
Men så har vi en tredje type tall: reelle tall. Dette er tall som kan uttrykkes som desimaltall, blant annet rasjonale tall som 1,5, men inkluderer også tall som bare kan uttrykkes som desimaltall, såkalte irrasjonale tall, for eksempel pi. Det finnes ingen brøk som representerer pi nøyaktig, så eneste korrekte verdi av pi er 3 etterfulgt av et uendelig antall desimaler. Har man en tallmengde hvor man inkluderer de reelle tall får vi en ny uendelighet. En ny uendelig mengde som er større en den uendelige mengde av bare naturlige tall og rasjonale tall. Det betyr at det eksempelvis finnes en større uendelig mengde tall mellom bare 0 og 1 enn det finnes naturlige tall eller rasjonale tall.
Det var matematikeren Georg Cantor som pønsket ut alt dette før han drev seg selv til vanvidd. Og for å gjøre alt enda verre så fant han ut at det fantes en uendelig rekke med uendelige mengder. Altså et uendelig antall ulike størrelser av uendelig.
Det er neste uendelig fascinerende å tenke på!
